Representacion de numeros complejos

Representación geométrica

Así como los números reales se representan geométricamente por medio de una recta, es posible dar una representación geométrica de los números complejos usando un sistema de coordenadas cartesianas.

Haremos ahora una identificación entre los números complejos y los puntos del plano. A cada número complejo Z = a + bi, se le asocia el punto del plano, P(a , b).

De esta forma, se obtiene una representación geométrica o Diagrama de Argand de Z, ver la  figura:

En esta representación, la componente real de Z se copia sobre el eje X, que será llamadoeje real y la
componente imaginaria sobre el eje Y, que será llamado eje imaginario. El conjunto de todos estos puntos, será llamado Plano Complejo.

Forma polar

Números complejos en forma polar

Un número complejo en forma polar consta de dos componentes: módulo y argumento.

Módulo de un número complejo

El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

z = a + bi
r = lzl

Argumento de un número complejo

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa

por arg(z).

Expresión de un número complejo en forma polar.

z = rα

|z| = r r es el módulo.

arg(z) =  es el argumento.

FORMA RECTANGULAR  

Sé a visto con anterioridad que los números reales pueden representarse geométricamente como puntos en una línea recta de igual manera trataremos de representar geométricamente él número complejo asignándole a la parte real del número complejo el eje coordenado X y a la parte imaginaria del número complejo el eje coordenado  Y 

Ejemplos:

De acuerdo con lo explicado con anterioridad podemos concluir que nosotros podemos graficar cualquier número complejo en los ejes coordenados.

La ecuación de Euler, implica que:

Esta ecuación es muy especial para los matemáticos más emotivos, ya que para un ángulo de π radianes implica que:

, y en resumen:

Esta ecuación es considerada una de las más bellas de la matemática, ya que implica a los dos números más basicos, que son el 1 y el 0, a los tres números especiales “π”, “e” e “i”, una operación tan elemental como 
es la suma y la igualdad.

Visto esto, un número complejo se puede expresar de varias formas:

El argumento de un número complejo es el valor de su ángulo α.